Extrait du Brevet des collèges, fonctions affines

Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d’hiver.

• Formule A : on paie 36,50 € par journée de ski.
  
• Formule B : on paie 90 € pour un abonnement « SkiPlus » pour la saison, puis 18,50 € par journée de ski.
  
• Formule C : on paie 448,50 € pour un abonnement « SkiTotal » qui permet ensuite un accès gratuit à la station pendant toute la saison.
  

1. Marin se demande quelle formule choisir cet hiver. Il réalise un tableau pour calculer le montant à payer pour chacune des formules en fonction du nombre de journées de ski. Recopier et compléter, sans justifier, le tableau.
\(\begin {align*}\renewcommand{\arraystrech}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Nombres de journées de ski}&2&6&10\\ \hline \text{ Formule A }& \text{73 €}&&\\ \hline \text{ Formule B }& 127~ €&&\\ \hline \text{ Formule C }& 448,50~€&&\\\hline\end{array}\end{align*}\)

2. Dans cette question, \(x\) désigne le nombre de journées de ski. On considère les trois fonctions \(f\) , \(g\) et \(h\) définies par :
\(f (x) = 90+18,5x\) 
\(g(x) = 448,5\)
\(h(x) = 36,5x\)
    a. Laquelle de ces trois fonctions représente une situation de proportionnalité ?
    b. Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions à la formule A, B ou C correspondante.
    c. Calculer le nombre de journées de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.

3. On a représenté graphiquement les trois fonctions dans le graphique ci dessous. Sans justifier et à l’aide du graphique :

    a. associer chaque représentation graphique \((d_1)\), \((d_ 2)\) et \((d_3)\) à la fonction \(f\) , \(g\) ou \(h\) correspondante ;
    b. déterminer le nombre maximum de journées pendant lesquelles Marin peut skier avec un budget de 320 €, en choisissant la formule la plus avantageuse ;
    c. déterminer à partir de combien de journées de ski il devient avantageux de choisir la formule C.